Πραγματική Ανάλυση

15101123 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 5^ο εξαμ. 9 ECTS

διδάσκεται και στα 2 εξάμηνα διαζευκτικά

Το αναγραφόμενο εξάμηνο δεν αφορά το Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών αλλά το Τμήμα προέλευσης

Διδάσκων: Κωνσταντίνος Γρυλλάκης,  αναπλ.  καθηγητής, (cgryllakis@math.uoa.gr)

15101123 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 4^ο εξαμ. 9 ECTS

Διδάσκων: Σοφοκλής Μερκουράκης, καθηγητής,  (smerkour@math.uoa.gr)

Στοιχεία από τη θεωρία συνόλων (αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα, αριθμησιμότητα του συνόλου των ρητών και υπεραριθμησιμότητα του συνόλου των πραγματικών αριθμών). Μετρικοί χώροι (ορισμοί, βασικές ιδιότητες και παραδείγματα, τοπολογικές έννοιες, ισοδύναμες μετρικές, φραγμένα και ολικά φραγμένα σύνολα). Συνέχεια συναρτήσεων σε μετρικούς χώρους: σημειακή (τοπική) συνέχεια και (ολική) συνέχεια, ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων. Ισομετρίες, συναρτήσεις Lipschitz, ομοιόμορφη συνέχεια. Πληρότητα: πλήρης μετρικός χώρος (ορισμός, βασικές ιδιότητες, παραδείγματα). Θεωρήματα σταθερού σημείου (και εφαρμογές στις διαφορικές εξισώσεις). Θεωρήματα Cantor και Baire και εφαρμογές. Συμπάγεια: ορισμός (με ανοικτές καλύψεις), και βασικές ιδιότητες. Συνέχεια συναρτήσεων και συμπάγεια. Χαρακτηρισμοί της συμπάγειας με τη βοήθεια της ιδιότητας Bolzano-Weierstrass και της έννοιας του ολικά φραγμένου. Πεπερασμένο (καρτεσιανό) γινόμενο συμπαγών μετρικών χώρων. Διαχωρισιμότητα. Σύνολο Cantor. Ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων: απλή και ομοιόμορφη σύγκλιση (ορισμοί, βασικές ιδιότητες και παραδείγματα). Κριτήριο Weierstrass (για την ομοιόμορφη σύγκλιση σειρών συναρτήσεων). Ομοιόμορφη σύγκλιση και συνέχεια, ολοκλήρωση και διαφόριση. Συνεχείς πραγματικές συναρτήσεις σε συμπαγείς μετρικούς χώρους: Θεώρημα προσέγγισης του Weierstrass. Η δομή του μετρικού χώρου C(X), όπου Χ συμπαγής μετρικός χώρος

Επιλογές Συγγραμμάτων:

1. Βιβλίο [50659150]: Αρχές Μαθηματικής Αναλύσεως, Rudin Walter Λεπτομέρειες
2. Βιβλίο [68399820]: Πραγματική Ανάλυση, Ανούσης Μ.,Τσολομύτης Α.,Φελουζής Β. Λεπτομέρειες